На рисунке изображен параллелограмм ABCD с высотой BE. Найти площадь ABCD, если AE=ED, BE=3.2 см, ∠A=45°.

Решение.

Пусть $AD$ — основание параллелограмма, $\angle A=45^\circ$. Возьмём систему координат: $A(0,0)$, $D(d,0)$ (значит $AD=d$). Сторона $AB$ образует с $AD$ угол $45^\circ$, поэтому точка $B$ имеет вид

Высота $BE$ опущена на $AD$ (ось $x$), значит $E$ — проекция $B$ на эту ось:

По условию $BE=3{,}2$ см, следовательно

Также дано $AE=ED$, то есть $E$ — середина $AD$. Тогда абсцисса $E$ равна $d/2$. Но по координатам выше $\displaystyle x_E=\frac{AB}{\sqrt{2}}=3{,}2$. Отсюда

Площадь параллелограмма равна произведению основания на соответствующую высоту:

Ответ: $20{,}48\ \text{см}^2$.