Две стороны треугольника равны 8 см и 15 см, а радиус окружности, описанной около данного треугольника, равен 10 см. Найдите высоту, проведённую к третьей стороне. В задании необходимо выполнить рисунок.

Как решал бы на сайте с ответами:

Дано: две стороны треугольника $a=8$ см и $b=15$ см, радиус описанной окружности $R=10$ см. Нужно найти высоту $h_c$, опущенную на третью сторону $c$ (то есть на сторону, длина которой не задана).

Идея

Площадь треугольника можно выразить двумя способами:

1. через две стороны и угол между ними:

2. через сторону и высоту к ней:

При этом по теореме о связи стороны и радиуса описанной окружности (расширенная теорема синусов)

Подставляем это в первую формулу площади:

Приравниваем оба выражения площади:

Теперь подставляем числа:

Ответ: $h_c=6$ см.

Небольшая проверка/комментарий

Красота в том, что $h_c=\dfrac{ab}{2R}$ не зависит от того, какой именно получился третий угол $C$ (острый или тупой) и какова сама $c$. Поэтому неоднозначность с углами нам не мешает — высота однозначно равна 6 см.

Эскиз (схематично)

Ниже быстрый рисунок-«набросок», как должен выглядеть чертёж в тетради: треугольник $ABC$, высота $h_c$ опущена из вершины $C$ на сторону $AB=c$. Окружность описывать на рисунке можно, но для вычислений она не нужна — достаточно знать, что $R=10$ см.

lua
Копировать код
          C
          *
         /|\
        / | \
     8 /  |h_c\ 15
      /   |    \
     *----*-----*
     A    H      B
          c=AB
Где CH ⟂ AB,  CH = h_c

Для аккуратного чертежа:

1. Постройте произвольный △ABC.

2. Проведите из вершины $C$ перпендикуляр к $AB$; отметьте основание $H$.

3. Подпишите $CH=h_c$, стороны $AC=8$ см, $BC=15$ см, $AB=c$, и радиус описанной окружности $R=10$ см (окружность можно наметить пунктиром с центром в $O$).

Главный вычислительный результат остаётся тем же: $h_c=6$ см.