Из точки D, лежащей на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, опущен перпендикуляр DE на катет BC. Докажите, что треугольники DBE и ABC подобны.

Для доказательства подобия треугольников DBE и ABC, давайте рассмотрим несколько ключевых моментов и шагов.

1. Обозначения и построения:
   Пусть прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в точке C. Точка D лежит на гипотенузе AB, и из неё опущен перпендикуляр DE на катет BC. Нам нужно доказать, что треугольники DBE и ABC подобны.

2. Углы:
   Обозначим углы:

   • Угол ACB — это прямой угол (90°), так как треугольник прямоугольный.

   • Так как DE — перпендикуляр, то угол CDE = 90°.

   Теперь давайте рассмотрим углы, которые будут равны в обоих треугольниках.

   • Угол DBE (в треугольнике DBE) и угол ABC (в треугольнике ABC) являются углами между прямыми BC и AB, а также перпендикуляром DE. Эти углы одинаковы, так как оба они образуются пересечением прямых AB и BC с перпендикуляром DE. То есть угол DBE = угол ABC.

   • Угол BDE в треугольнике DBE и угол BAC в треугольнике ABC также равны, так как они оба являются углами, образованными между гипотенузой AB и катетом BC.

3. Подобие треугольников:
   Мы установили, что два угла треугольников DBE и ABC равны: угол DBE = угол ABC и угол BDE = угол BAC. Поскольку два угла треугольников равны, то по теореме о подобии треугольников (по двум углам) треугольники DBE и ABC подобны.

Таким образом, мы доказали, что треугольники DBE и ABC подобны.