Аксиома параллельных прямых

Аксиома параллельных прямых — это одно из основных положений геометрии Евклида, которое описывает, как ведут себя прямые на плоскости.

Обычно её формулируют так:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Разберём смысл этой аксиомы по частям:

• есть некоторая прямая;

• есть точка вне этой прямой;

• через эту точку можно провести прямую, которая не пересечёт данную;

• и такая прямая будет единственной.

Что значит «параллельные прямые»

Параллельные прямые — это прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся, как бы далеко их ни продолжали.

Почему это называется аксиомой

Аксиома — это утверждение, которое в рамках данной геометрической системы принимается без доказательства. На её основе потом доказываются теоремы.

Аксиома параллельных прямых особенно важна, потому что именно она отличает евклидову геометрию от неевклидовых.

Исторически

У Евклида пятый постулат был сформулирован не совсем в современном школьном виде, а более сложно. Позже его заменили на более удобную и понятную равносильную формулировку — ту самую:

Через точку вне прямой проходит единственная прямая, параллельная данной.

Значение аксиомы

Из неё выводятся многие свойства геометрии, например:

• сумма углов треугольника равна 180°;

• соответственные и накрест лежащие углы при параллельных прямых имеют определённые свойства;

• существуют привычные нам правила построения фигур на плоскости.

Для сравнения

В неевклидовой геометрии эта аксиома не выполняется:

• в геометрии Лобачевского через точку вне прямой можно провести несколько непересекающих данную прямых;

• в геометрии на сфере параллельных прямых вообще нет, потому что любые «прямые» там в итоге пересекаются.

Итак, аксиома параллельных прямых — это утверждение о том, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной прямой.