Определите длину большего катета прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна 6√3, а один из острых углов равен 30°. Найдите медианы, высоты, радиусы.

В данном случае у нас прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна $6\sqrt{3}$, а один из острых углов составляет $30^\circ$.

Длина большего катета

В прямоугольном треугольнике, если один из углов равен $30^\circ$, то второй острый угол обязательно будет $60^\circ$, так как сумма углов в треугольнике всегда равна $180^\circ$. В таком треугольнике катеты находятся по известным соотношениям углов.

• Гипотенуза $c = 6\sqrt{3}$.

• Катет, противолежащий углу $30^\circ$, равен половине гипотенузы:

  $$a = \frac{c}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$

• Катет, противолежащий углу $60^\circ$, равен:

  $$b = a \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9$$

  Это и есть больший катет.

Медианы

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, делит её пополам и будет иметь длину, равную половине гипотенузы. То есть медиана $m_c$ к гипотенузе будет равна:

Медиана, проведенная к меньшему катету $a$, по формуле для медиан в треугольнике:

где $b = 9$, $c = 6\sqrt{3}$, и $a = 3\sqrt{3}$. Подставляем значения:

Медиана, проведенная к большему катету $b$, вычисляется аналогично: