Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1. Докажите, что: а) DC⊥В1С1 и AB⊥А1D1, если ∠BAD=90°; б) AB⊥СС1 и DD1⊥А1В1, если AB⊥DD1.

В параллелепипеде противоположные и соответствующие рёбра попарно параллельны. Поэтому для параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ имеем:

Также используем простой факт: если одна прямая перпендикулярна другой, то она перпендикулярна и всякой прямой, параллельной этой другой прямой. Аналогично, если две прямые соответственно параллельны двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.

а) Докажем, что $DC \perp B_1C_1$ и $AB \perp A_1D_1$, если $\angle BAD = 90^\circ$

Дано:

Это означает, что

В параллелепипеде ребро $DC$ параллельно ребру $AB$:

А ребро $B_1C_1$ параллельно ребру $AD$:

Так как $AB \perp AD$, а $DC \parallel AB$ и $B_1C_1 \parallel AD$, то прямые $DC$ и $B_1C_1$ также перпендикулярны:

Теперь докажем второе утверждение.

Верхнее ребро $A_1D_1$ параллельно нижнему ребру $AD$:

Так как

то прямая $AB$ перпендикулярна и прямой, параллельной $AD$, то есть $A_1D_1$. Поэтому

Значит, при $\angle BAD=90^\circ$ действительно выполняется:

и

б) Докажем, что $AB \perp CC_1$ и $DD_1 \perp A_1B_1$, если $AB \perp DD_1$

Дано:

В параллелепипеде все боковые рёбра параллельны между собой, поэтому

Так как $AB \perp DD_1$