Прямая проходит через середину диагонали AC параллелограмма ABCD и пересекает стороны BC и AD в точках M и K соответственно. Доказать: AMCK — параллелограмм.

Пусть $O$ — середина диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$. По условию прямая $MK$ проходит через точку $O$, причём $M \in BC$, $K \in AD$.

Нужно доказать, что четырёхугольник $AMCK$ — параллелограмм.

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то его противоположные стороны параллельны:

Точка $K$ лежит на стороне $AD$, а точка $M$ лежит на стороне $BC$. Значит, отрезок $AK$ лежит на прямой $AD$, а отрезок $MC$ лежит на прямой $BC$. Поэтому

То есть одна пара противоположных сторон четырёхугольника $AMCK$ уже параллельна.

Остаётся доказать, что вторая пара противоположных сторон тоже параллельна, то есть

Рассмотрим треугольники $AOK$ и $COM$.

Точка $O$ — середина диагонали $AC$, следовательно,

Прямая $MK$ проходит через $O$, поэтому точки $M, O, K$ лежат на одной прямой. Значит, углы $\angle AOK$ и $\angle COM$ — вертикальные, следовательно,

Кроме того, $AK \parallel MC$, потому что $AK$ лежит на $AD$, $MC$ лежит на $BC$, а $AD \parallel BC$. Тогда углы $\angle AKO$ и $\angle CMO$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AK$ и $MC$ и секущей $MK$:

Следовательно, треугольники $AOK$ и $COM$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам:

Из равенства треугольников получаем:

Значит, точка $O$ является серединой отрезка $KM$. Но точка $O$ также является серединой отрезка $AC$.

Итак, в четырёхугольнике $AMCK$ диагонали $AC$ и $KM$ пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. А если диагонали четырёхугольника взаимно делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Следовательно,

— параллелограмм.