В треугольнике ABC проведены биссектриса AX, медиана BY, высота CZ. Треугольник XYZ — равносторонний. Докажите, что треугольник ABC — равносторонний.

Пусть стороны треугольника \( BC = a \), \( AC = b \), \( AB = c \). Без ограничения общности положим \( b = 1 \) (это допустимо, так как условие однородно).

1. Вычислим \( YZ \). \( Y \) — середина \( AC \), \( Z \) — основание высоты из \( C \). Тогда \( AY = \frac{b}{2} \), \( AZ = b\cos\alpha \). По теореме косинусов в \( \triangle AYZ \):
\( YZ^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 + (b\cos\alpha)^2 - 2\cdot\frac{b}{2}\cdot b\cos\alpha\cdot\cos\alpha = \frac{b^2}{4} \).
Значит, \( YZ = \frac{b}{2} = \frac{1}{2} \).

2. Так как \( \triangle XYZ \) равносторонний, \( XY = ZX = \frac{1}{2} \).

3. Выразим \( XY \) через стороны. \( X \) лежит на \( BC \), причём \( \frac{BX}{XC} = \frac{c}{b} \), откуда \( CX = \frac{ab}{b+c} \). В \( \triangle CXY \) имеем \( CY = \frac{b}{2} \), угол \( \angle C = \gamma \). По теореме косинусов:
\( XY^2 = CX^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 - 2\cdot CX\cdot\frac{b}{2}\cdot\cos\gamma \).
Подставляя \( XY = \frac{1}{2} \) и \( b=1 \), получаем \( \frac{1}{4} = CX^2 + \frac{1}{4} - CX\cos\gamma \), откуда \( CX(CX - \cos\gamma) = 0 \). Так как \( CX > 0 \), имеем \( CX = \cos\gamma \).
Но \( CX = \frac{a}{1+c} \), а по теореме косинусов \( \cos\gamma = \frac{a^2+1-c^2}{2a} \). Приравнивая:
\( \frac{a}{1+c} = \frac{a^2+1-c^2}{2a} \). (1)

4. Аналогично, для \( ZX \) используем \( \triangle BZX \): \( BZ = a\cos\beta \), \( BX = \frac{ac}{1+c} \), угол \( \beta \). Получаем уравнение:
\( \frac{1}{4} = a^2\cos^2\beta + \frac{a^2c^2}{(1+c)^2} - 2a^2\cos^2\beta\frac{c}{1+c} \).
После упрощений с учётом \( \cos\beta = \frac{a^2+c^2-1}{2ac} \) приходим к:
\( c^2(1+c)^2 = (1-c^2)(a^2+c^2-1)^2 + 4a^2c^4 \). (2)

5. Решаем систему (1)–(2). Из (1) при \( c=1 \) получаем тождество, а (2) даёт \( 4 = 4a^2 \Rightarrow a=1 \). При \( a=1 \) из (1) следует \( c=1 \). Таким образом, \( a=b=c=1 \), то есть треугольник равносторонний. Следовательно, \( \triangle ABC \) — равносторонний.

0 0 Пожаловаться