В четырёхугольнике ABCD, описанном около окружности, АВ = 13, CD = 20, стороны AD и BC параллельны и AD − BC = 21. Найдите площадь этого четырёхугольника.

Так как четырёхугольник описан около окружности, суммы противоположных сторон равны:

\[ AB+CD=AD+BC \]

\[ 13+20=AD+BC \]

\[ AD+BC=33 \]

Также дано:

\[ AD-BC=21 \]

Решим систему:

\[ AD=27,\quad BC=6 \]

Это трапеция с основаниями \(27\) и \(6\). Разность оснований равна \(21\). Пусть горизонтальные проекции боковых сторон равны \(x\) и \(y\), тогда:

\[ x+y=21 \]

Боковые стороны равны \(13\) и \(20\), высота трапеции — \(h\):

\[ x^2+h^2=13^2 \]

\[ y^2+h^2=20^2 \]

Вычитая уравнения, получаем:

\[ y^2-x^2=400-169=231 \]

\[ (y-x)(y+x)=231 \]

Так как \(y+x=21\), то:

\[ y-x=11 \]

Отсюда \(x=5\), \(y=16\). Тогда:

\[ h^2=13^2-5^2=169-25=144 \]

\[ h=12 \]

Площадь трапеции:

\[ S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{27+6}{2}\cdot 12=198 \]

Ответ: \(198\).

0 0 Пожаловаться