Высота и образующая конуса относятся как 4:5, а объём конуса равен 96π см³. Найдите площадь полной поверхности.

Высота и образующая относятся как \(4:5\), значит можно обозначить:

\[ h = 4x, \quad l = 5x \]

Радиус найдём по теореме Пифагора:

\[ r^2 = l^2 - h^2 = (5x)^2 - (4x)^2 = 25x^2 - 16x^2 = 9x^2 \]

Значит, \( r = 3x \).

Объём конуса:

\[ V = \frac{1}{3}\pi r^2h \]

Подставим данные:

\[ 96\pi = \frac{1}{3}\pi \cdot (3x)^2 \cdot 4x \]

\[ 96\pi = 12\pi x^3 \]

\[ x^3 = 8, \quad x = 2 \]

Тогда:

\[ r = 6, \quad h = 8, \quad l = 10 \]

Площадь полной поверхности конуса:

\[ S = \pi r^2 + \pi rl \]

\[ S = \pi \cdot 6^2 + \pi \cdot 6 \cdot 10 = 36\pi + 60\pi = 96\pi \]

Ответ: \(96\pi\text{ см}^2\).

0 0 Пожаловаться