Задан конус, в который вписана правильная четырёхугольная пирамида SABCD. Образующая конуса SA равна 4 и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов. Найдите объём конуса.

Образующая конуса равна \(4\) и наклонена к плоскости основания под углом \(30^\circ\).

Высота конуса находится как катет напротив угла \(30^\circ\):

\[h = 4\sin 30^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\]

Радиус основания — это проекция образующей на плоскость основания:

\[r = 4\cos 30^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\]

Объём конуса:

\[V = \frac{1}{3}\pi r^2h\]

\[V = \frac{1}{3}\pi \cdot (2\sqrt{3})^2 \cdot 2 = \frac{1}{3}\pi \cdot 12 \cdot 2 = 8\pi\]

Ответ: \(8\pi\).

0 0 Пожаловаться