В конус вписан цилиндр так, что его верхнее основание касается боковой поверхности конуса, а нижнее лежит в плоскости его основания. Найти площадь боковой поверхности цилиндра, если высота конуса равна \(10\sqrt{3}\) см, высота цилиндра \(4\sqrt{3}\) см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом \(60°\).

Рассмотрим осевое сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось. В сечении получаем равнобедренный треугольник: высота конуса $H$ — это высота треугольника, радиус основания конуса $R$ — половина основания треугольника, а образующая — боковая сторона.

1) Находим радиус основания конуса $R$

Дано: образующая наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$.
В осевом сечении это означает, что боковая сторона треугольника образует с основанием треугольника угол $60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $H$, радиусом $R$ и образующей, имеем:

• противолежащий катет к углу $60^\circ$ — это высота $H$,

• прилежащий катет — это радиус $R$.

Значит:

Отсюда:

2) Радиус цилиндра

Цилиндр вписан так, что:

• нижнее основание лежит в плоскости основания конуса,

• верхнее основание касается боковой поверхности конуса.

Высота цилиндра $h=4\sqrt{3}$ см, значит его верхнее основание находится на высоте $z=4\sqrt{3}$ от основания конуса.

Радиус сечения конуса на высоте $z$ уменьшается линейно (по подобию треугольников):

Подставим:

Это и есть радиус цилиндра, потому что верхняя окружность цилиндра “упирается” в боковую поверхность конуса именно на этом уровне.

3) Площадь боковой поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра:

Ответ: $\boxed{48\pi\sqrt{3}\ \text{см}^2}$.