Точка M лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, причём BM:MC=3:1. Выразите векторы AM и MD через векторы a=AD и b=AB. Обязательно с чертежом. Сделать очень подробно, не кратко.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Даны векторы:

Точка $M$ лежит на стороне $BC$, причём

Нужно выразить векторы $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{MD}$ через векторы $\vec a$ и $\vec b$.

Чертёж

        D ---------------- C
        ↑                  ↑
        |                  |
   a    |                  |
        |                  |
        A ---------------- B
              b

Сторона BC параллельна AD, поэтому направление BC такое же, как у вектора a.

Точка M делит BC в отношении BM:MC = 3:1:

        D ---------------- C
        ↑                  ↑
        |                  |
        |                  |
        |                  M
        |                  ↑
        A ---------------- B

На стороне BC:
B ----------- M --- C
     3 части    1 часть

1. Что означает $\vec a=\overrightarrow{AD}$ и $\vec b=\overrightarrow{AB}$

По условию:

то есть вектор $\vec a$ направлен из точки $A$ в точку $D$.

Также:

то есть вектор $\vec b$ направлен из точки $A$ в точку $B$.

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то противоположные стороны равны и параллельны. Значит,

А так как $\overrightarrow{AD}=\vec a$, получаем:

То есть сторона $BC$ выражается тем же вектором $\vec a$.

2. Найдём вектор $\overrightarrow{BM}$

Точка $M$ лежит на стороне $BC$, причём

Это означает, что весь отрезок $BC$ разделён на $4$ равные части:

Отрезок $BM$ составляет $3$ части из $4$, то есть

В векторной форме это означает:

Но выше мы уже выяснили, что

Поэтому