Прямая a проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему. Докажите, что каждая точка прямой a равноудалена от точек A и B.

Давайте разберём этот вопрос шаг за шагом, чтобы доказательство было ясным.

Дано:

• Отрезок $AB$.

• Прямая $a$, которая проходит через середину отрезка $AB$ и перпендикулярна ему.

Нужно доказать:
Каждая точка на прямой $a$ равноудалена от точек $A$ и $B$.

Доказательство:

1. Обозначения:
   Пусть точка $M$ — середина отрезка $AB$. Тогда:

   $$M = \frac{A + B}{2}$$

   (координатное представление упрощает понимание, но доказательство верно и геометрически).

2. Свойство перпендикулярного биссектрисы:
   Прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему, называется перпендикулярной биссектрисой отрезка $AB$.
   Геометрически известно, что все точки на перпендикулярной биссектрисе отрезка равноудалены от его концов. Покажем это формально.

3. Пусть $P$ — любая точка на прямой $a$.
   Соединяем $P$ с концами отрезка $A$ и $B$. Получим треугольники $PAM$ и $PBM$.

   • В треугольниках $PAM$ и $PBM$:

     • $AM = MB$ (так как $M$ — середина).

     • $PM$ — общая сторона.

     • $\angle PMA = \angle PMB = 90^\circ$ (так как прямая перпендикулярна $AB$).

   По признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету):

   $$PA = PB$$

4. Вывод:
   Любая точка $P$ на прямой $a$ находится на одинаковом расстоянии от $A$ и $B$.

Итог:

Прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему, является перпендикулярной биссектрисой. По свойству перпендикулярной биссектрисы все её точки равноудалены от концов отрезка. То есть доказано, что любая точка прямой $a$ равноудалена от точек $A$ и $B$.

Это одно из классических свойств в планиметрии, которое часто используют при построении треугольников, окружностей и медиан.