Какая из фигур не является основной фигурой в пространстве? 1) точка; 2) отрезок; 3) прямая; 4) плоскость. 2. Прямые a и b скрещивающиеся. Как расположена прямая b относительно плоскости α, если прямая а ϵ α? 1) пересекает; 2) параллельна; 3) лежит в плоскости; 4) скрещивается. 3. Определите, какое утверждение верно: 1) Перпендикуляр длиннее наклонной. 2) Если две наклонные не равны, то большая наклонная имеет меньшую проекцию. 3) Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна лежащим в этой плоскости двум сторонам треугольника. 4) Угол между параллельными прямой и плоскостью равен 90º. 4. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно 8 см. Отрезок прямой, длина которого 17 см, расположен между ними так, что его концы принадлежат плоскостям. Найдите проекцию этого отрезка на каждую из плоскостей. 1) 15 см; 2) 9 см; 3) 25 см; 4) 12 см. 5. К плоскости МКРТ проведен перпендикуляр ТЕ, равный 6 дм. Вычислить расстояние от точки Е до вершины ромба К, если МК = 8 дм, угол М ромба равен 60º. 1) 10 дм; 2) 14 дм; 3) 8 дм; 4) 12 дм. 6. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12 см. Вне плоскости треугольника дана точка, удаленная от каждой вершины треугольника на расстоянии 10 см. Найдите расстояние от точки до плоскости треугольника. 1) 4 см; 2) 16 см; 3) 8 см; 4) 10 см. 7. Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен 60º. Найдите проекцию наклонной на данную плоскость, если перпендикуляр равен 5 см. 1) 5√3 см; 2) 10 см; 3) 5 см; 4) 10√3 см. 8. Найти боковую поверхность правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна 2 см, а все двугранные углы при основании равны 30º. 1) 2 см²; 2) 2√3 см²; 3) √3 см²; 4) 3√2 см². 9. Найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям, равным 3 см, 4 см, 5 см. 1) 94 см²; 2) 47 см²; 3) 20 см²; 4) 54 см².

1. Какая из фигур не является основной фигурой в пространстве?
Основные (неопределяемые) фигуры стереометрии: точка, прямая, плоскость.
Отрезок — фигура производная (часть прямой).
✅ Ответ: 2) отрезок.

2. Прямые a и b скрещивающиеся. Как расположена прямая b относительно плоскости α, если прямая а ∈ α?
Если a лежит в плоскости α, а b скрещивается с a, то b:

• не может лежать в α (иначе пересеклась бы с a или была бы параллельна ей в одной плоскости, а не скрещивалась),

• не может быть параллельна α, потому что тогда она была бы параллельна некоторой прямой в α, и со скрещивающейся прямой a ситуация не гарантируется, но главное: при параллельности плоскости b не пересекает α, а скрещивание с a не запрещает пересечение α, но вариант ответа “скрещивается с плоскостью” неверен как термин.
  Единственный корректный вариант из предложенных: b пересекает плоскость α (в точке, не лежащей на a).
  ✅ Ответ: 1) пересекает.

3. Определите, какое утверждение верно

1. Перпендикуляр длиннее наклонной. — неверно: перпендикуляр — кратчайшее расстояние от точки до плоскости, значит он короче любой наклонной.

2. Если две наклонные не равны, то большая наклонная имеет меньшую проекцию. — неверно: большей наклонной соответствует большая проекция.

3. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна лежащим в этой плоскости двум сторонам треугольника. — верно по сути: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости (например, двум сторонам треугольника, выходящим из одной вершины), то она перпендикулярна плоскости.

4. Угол между параллельными прямой и плоскостью равен 90º. — неверно: если прямая параллельна плоскости, угол между прямой и плоскостью 0º.
   ✅ Ответ: 3).

4. Расстояние между двумя параллельными плоскостями 8 см. Отрезок длиной 17 см соединяет плоскости. Найдите проекцию отрезка на каждую плоскость.
Отрезок между плоскостями имеет “вертикальную” составляющую 8 см (перпендикуляр к плоскостям). Проекция на плоскость — это “горизонтальная” составляющая.
По теореме Пифагора:

Проекция на каждую из плоскостей одинаковая (плоскости параллельны).
✅ Ответ: 1) 15 см.

5. К плоскости ромба MKRT проведён перпендикуляр TE = 6 дм. Найти расстояние от точки E до вершины K, если MK = 8 дм, ∠M = 60°.
Точка T — вершина ромба, и TE ⟂ плоскости ромба. Значит треугольник ETK прямоугольный (прямой угол при T):

Найдём диагональ/сторону $TK$. В ромбе со стороной 8 и углом 60° диагональ, соединяющая вершины $T$ и $K$, равна:

Тогда:

✅ Ответ: 1) 10 дм.

6. Гипотенуза прямоугольного треугольника 12 см. Вне плоскости дана точка, удалённая от каждой вершины на 10 см. Найдите расстояние от точки до плоскости треугольника.
Точка равноудалена от всех трёх вершин ⇒ она лежит на прямой, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности треугольника.
Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности — середина гипотенузы, радиус:

Если расстояние от точки до любой вершины 10, то:

✅ Ответ: 3) 8 см.

7. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр 5 см и наклонная, угол между ними 60°. Найдите проекцию наклонной на плоскость.
Рассмотрим прямоугольный треугольник: перпендикуляр $PH=5$, наклонная $PA$, её проекция на плоскость — $HA$.
Угол между $PH$ и $PA$ равен 60°, значит:

Тогда проекция:

✅ Ответ: 1) 5√3 см.

8. Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды: сторона основания 2 см, двугранные углы при основании 30°.
В правильной пирамиде каждая боковая грань — равнобедренный треугольник. Боковая поверхность: