Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если координаты трех других его вершин известны: A(4;2;-1), B(1;-3;2), C(-4;2;1).

Для нахождения координат вершины D параллелограмма ABCD можно воспользоваться свойством, что диагонали параллелограмма делятся пополам. Это означает, что середина диагонали AC совпадает с серединой диагонали BD.

1. Сначала найдем середину диагонали AC. Координаты этой середины можно вычислить как среднее арифметическое координат вершин A и C. Координаты точек A и C:

   • A(4; 2; -1)

   • C(-4; 2; 1)

   Для нахождения середины диагонали AC вычислим:

   $$M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2} \right)$$

   Подставим координаты:

   $$M_{AC} = \left( \frac{4 + (-4)}{2}, \frac{2 + 2}{2}, \frac{-1 + 1}{2} \right) = (0, 2, 0)$$

   Таким образом, середина диагонали AC имеет координаты M(0, 2, 0).

2. Теперь, зная, что середина диагонали BD также совпадает с точкой M, можем использовать координаты середины и вершины B для нахождения координат вершины D. Поскольку середина BD это точка M, выполняется следующее равенство:

   $$M_{BD} = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2}, \frac{z_B + z_D}{2} \right)$$

   где $M_{BD} = M(0, 2, 0)$ — это середина, а координаты точки B равны (1, -3, 2).

   Разрешим систему уравнений для координат D, зная, что M — середина отрезка BD:

   $$\frac{x_B + x_D}{2} = 0, \quad \frac{y_B + y_D}{2} = 2, \quad \frac{z_B + z_D}{2} = 0$$

   Для x-координаты:

   $$\frac{1 + x_D}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad 1 + x_D = 0 \quad \Rightarrow \quad x_D = -1$$

   Для y-координаты:

   $$\frac{-3 + y_D}{2} = 2 \quad \Rightarrow \quad -3 + y_D = 4 \quad \Rightarrow \quad y_D = 7$$

   Для z-координаты:

   $$\frac{2 + z_D}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad 2 + z_D = 0 \quad \Rightarrow \quad z_D = -2$$

3. Таким образом, координаты вершины D параллелограмма ABCD равны: D(-1; 7; -2).