На окружности основания конуса с вершиной D взяты точки A, B, C, причём A и C диаметрально противоположны. AB=8, BC=10, DC=5√2. Точка M — середина BC. Точка О (центр окружности конуса) является проекцией вершины D на основание. Найти расстояние от точки О до плоскости DCB.

Нужно решение прямо с рисунком.

Решение

Рассмотрим сначала основание конуса.

Рисунок основания

A●───────────────●B
  ╲               │
   ╲              │
    ╲             │
     ╲            │
      ╲           │
       ●O─────────●M
        ╲         │
         ╲        │
          ╲       │
           ╲      │
            ╲     │
             ╲    │
              ╲   │
               ╲  │
                ╲ │
                 ╲│
                  ●C

Здесь:

• (AC) — диаметр окружности;

• (O) — центр окружности и середина (AC);

• (M) — середина хорды (BC);

• (OM\perp BC).

Поскольку (AC) — диаметр окружности, вписанный угол (ABC), опирающийся на диаметр, является прямым:

[
\angle ABC=90^\circ.
]

Следовательно, треугольник (ABC) прямоугольный, и по теореме Пифагора:

[
AC=\sqrt{AB^2+BC^2}
=\sqrt{8^2+10^2}
=\sqrt{164}
=2\sqrt{41}.
]

Радиус основания:

[
OC=\frac{AC}{2}=\sqrt{41}.
]

Так как (O) — проекция вершины (D) на плоскость основания, то

[
DO\perp (ABC),
]

в частности,

[
DO\perp OC.
]

Поэтому треугольник (DOC) прямоугольный. По условию

[
DC=5\sqrt2.
]

Найдём высоту конуса (DO):

[
DO=\sqrt{DC^2-OC^2}
=\sqrt{(5\sqrt2)^2-(\sqrt{41})^2}
=\sqrt{50-41}
=3.
]

Теперь найдём (OM). Точка (M) — середина хорды (BC), поэтому

[
CM=\frac{BC}{2}=5
]

и

[
OM\perp BC.
]

В прямоугольном треугольнике (OMC):

[
OM=\sqrt{OC^2-CM^2}
=\sqrt{41-25}
=4.
]

Рассмотрим сечение плоскостью (DOM).

Рисунок сечения

          D●
          │╲
        3 │ ╲
          │  ╲  DM
          │   ╲
          │   ●H
          │  ╱ ╲
          │ ╱   ╲
          O●─────●M
              4

Здесь (OH\perp DM).

Линия (BC) перпендикулярна и (DO), и (OM). Следовательно,

[
BC\perp (DOM).
]

Плоскости (DOM) и (DCB) пересекаются по прямой (DM). Поэтому перпендикуляр (OH), проведённый из (O) к (DM), одновременно является перпендикуляром к плоскости (DCB).

Значит, искомое расстояние равно (OH).

Треугольник (DOM) прямоугольный:

[
DO=3,\qquad OM=4.
]

По теореме Пифагора:

[
DM=\sqrt{DO^2+OM^2}
=\sqrt{3^2+4^2}
=5.
]

Площадь треугольника (DOM) выразим двумя способами:

[
S_{DOM}=\frac12 DO\cdot OM
]

и

[
S_{DOM}=\frac12 DM\cdot OH.
]

Следовательно,

[
DO\cdot OM=DM\cdot OH,
]

откуда

[
OH=\frac{DO\cdot OM}{DM}
=\frac{3\cdot4}{5}
=\frac{12}{5}.
]

[
\boxed{\operatorname{dist}\bigl(O,(DCB)\bigr)=\frac{12}{5}}
]