Докажите, что симметрия относительно точки является движением.

Симметрия относительно точки — это преобразование, при котором каждой точке $A$ ставится в соответствие точка $A^{\prime }$, такая, что центр симметрии $O$ является серединой отрезка $A{A}^{\prime }$.

Чтобы доказать, что симметрия относительно точки является движением, достаточно доказать, что она сохраняет расстояния между любыми двумя точками.

Пусть при симметрии относительно точки $O$ точки $A$ и $B$ переходят соответственно в точки $A^{\prime }$ и $B^{\prime }$.

По определению симметрии:

• $O$ — середина $A{A}^{\prime }$;

• $O$ — середина $B{B}^{\prime }$.

Следовательно, при повороте на $180^{\circ }$ вокруг точки $O$ точка $A$ переходит в $A^{\prime }$, а точка $B$ — в $B^{\prime }$. Такой поворот не изменяет расстояние между точками. Поэтому

Можно доказать это и непосредственно. Векторы имеют вид

Тогда

Значит,

то есть

Таким образом, симметрия относительно точки сохраняет расстояния между любыми двумя точками, а значит, является движением.