1) В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетом a и прилежащим к нему углом β. Найдите объём пирамиды, если все боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом α. Рассмотрите случаи, когда a=6 см, α=30°, β=60°. 2) В цилиндре параллельно его оси проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу 2α. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания цилиндра с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью основания угол β. Найдите площадь сечения, если радиус основания равен R. Проведите вычисления при R=10 см, α=60°, β=30°. 3) Докажите, что в правильной треугольной пирамиде FABC боковое ребро BF перпендикулярно к стороне AC основания пирамиды.

1. Объём пирамиды

Пусть вершина пирамиды — (S), а (O) — проекция вершины (S) на плоскость основания.

Все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом (\alpha). Для любого вершины основания (X):

[
\tan\alpha=\frac{SO}{OX}.
]

Так как высота (SO) одна и та же, расстояния (OA), (OB), (OC) равны. Следовательно, точка (O) — центр описанной окружности около треугольника основания.

Основание — прямоугольный треугольник. Пусть данный катет равен (a) и прилежит к углу (\beta). Тогда второй катет:

[
b=a\tan\beta.
]

Площадь основания:

[
S_{\text{осн}}=\frac12 ab
=\frac12 a^2\tan\beta.
]

Гипотенуза прямоугольного треугольника:

[
c=\frac{a}{\cos\beta}.
]

Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:

[
R=\frac c2=\frac{a}{2\cos\beta}.
]

Высота пирамиды:

[
h=R\tan\alpha
=\frac{a\tan\alpha}{2\cos\beta}.
]

Поэтому объём пирамиды равен

[
V=\frac13S_{\text{осн}}h
=\frac13\cdot\frac{a^2\tan\beta}{2}\cdot
\frac{a\tan\alpha}{2\cos\beta}.
]

[
\boxed{V=\frac{a^3\tan\beta\tan\alpha}{12\cos\beta}}.
]

При (a=6) см, (\alpha=30^\circ), (\beta=60^\circ):

[
S_{\text{осн}}=\frac12\cdot 6^2\cdot\tan60^\circ
=18\sqrt3\text{ см}^2.
]

[
R=\frac{6}{2\cos60^\circ}=6\text{ см}.
]

[
h=6\tan30^\circ=2\sqrt3\text{ см}.
]

[
V=\frac13\cdot18\sqrt3\cdot2\sqrt3=36\text{ см}^3.
]

[
\boxed{V=36\text{ см}^3}.
]

2. Площадь сечения цилиндра

Плоскость, параллельная оси цилиндра, образует прямоугольное сечение. Одна его сторона равна высоте цилиндра (h), а другая — хорде основания.

Дуга, отсекаемая хордой, имеет величину (2\alpha). Поэтому длина хорды:

[
l=2R\sin\alpha.
]

Пусть (O_1) — центр верхнего основания, (O) — центр нижнего основания, (A) — точка окружности нижнего основания. Проекцией отрезка (O_1A) на плоскость основания является радиус (OA=R).

Из прямоугольного треугольника (OO_1A):

[
\tan\beta=\frac{OO_1}{OA}=\frac hR.
]

Следовательно,

[
h=R\tan\beta.
]

Площадь прямоугольного сечения:

[
S=lh=2R\sin\alpha\cdot R\tan\beta.
]

[
\boxed{S=2R^2\sin\alpha\tan\beta}.
]

При (R=10) см, (\alpha=60^\circ), (\beta=30^\circ):

[
l=2\cdot10\cdot\sin60^\circ=10\sqrt3\text{ см},
]

[
h=10\tan30^\circ=\frac{10}{\sqrt3}\text{ см}.
]

[
S=10\sqrt3\cdot\frac{10}{\sqrt3}=100\text{ см}^2.
]

[
\boxed{S=100\text{ см}^2}.
]

3. Доказательство перпендикулярности (BF) и (AC)

В правильной треугольной пирамиде (FABC) основание (ABC) является равносторонним треугольником. Обозначим через (O) центр основания. Тогда (O) — точка пересечения медиан треугольника (ABC), а высота пирамиды (FO) перпендикулярна плоскости основания:

[
FO\perp(ABC).
]

Следовательно,

[
FO\perp AC.
]

Так как треугольник (ABC) равносторонний, медиана (BO) является также высотой. Поэтому

[
BO\perp AC.
]

Прямые (FO) и (BO) пересекаются в точке (O) и лежат в плоскости (FBO). Сторона (AC) перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости: (FO) и (BO). Значит,

[
AC\perp(FBO).
]

Следовательно, сторона (AC) перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости (FBO), в частности боковому ребру (BF):

[
\boxed{BF\perp AC}.
]