Докажите, что прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна к наклонной тогда и только тогда, когда

Ответы на вопрос

Отвечает Зеленин Руслан.

Пусть дана плоскость $α$ . Из точки $A$ , не лежащей в этой плоскости, проведена наклонная $A B$ , где $B \in α$ . Опустим из $A$ перпендикуляр $A H$ на плоскость $α$ . Тогда отрезок $H B$ является ортогональной проекцией наклонной $A B$ на плоскость $α$ .

Пусть прямая $l$ лежит в плоскости $α$ и проходит через точку $B$ . Докажем, что

A B ⊥ l ⟺ H B ⊥ l .

Рисунок


                         A
                        /|
                       / |
                      /  |
                     /   | AH ⟂ α
                    /    |
                   /     |
                  B------H
             C----B------D      l
                \________/
                 плоскость αAB — наклонная,
HB — её ортогональная проекция на α,
C, B, D лежат на прямой l,
BC = BD.

На прямой $l$ выберем точки $C$ и $D$ так, чтобы

BC = B D .

Тогда $B$ — середина отрезка $C D$ .

1. Пусть $H B ⊥ l$ . Докажем, что $A B ⊥ l$ .

Так как $H B ⊥ C D$ , треугольники $H BC$ и $H B D$ прямоугольные. По теореме Пифагора:

H C^{2} = H B^{2} + B C^{2},

H D^{2} = H B^{2} + B D^{2} .

Но $BC = B D$ , следовательно,

H C = HD .

Так как $A H ⊥ α$ , то $A H ⊥ H C$ и $A H ⊥ HD$ . Поэтому треугольники $A H C$ и $A HD$ прямоугольные:

A C^{2} = A H^{2} + H C^{2},

A D^{2} = A H^{2} + H D^{2} .

Из $H C = HD$ получаем

A C = A D .

Следовательно, треугольник $A C D$ равнобедренный. Поскольку $B$ — середина основания $C D$ , медиана $A B$ , проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также высотой. Значит,

A B ⊥ C D,

то есть

A B ⊥ l .

2. Пусть теперь $A B ⊥ l$ . Докажем, что $H B ⊥ l$ .

Так как $A B ⊥ C D$ , треугольники $A BC$ и $A B D$ прямоугольные. Поэтому

A C^{2} = A B^{2} + B C^{2},

A D^{2} = A B^{2} + B D^{2} .

Поскольку $BC = B D$ , получаем

A C = A D .

Далее, поскольку $A H ⊥ α$ , имеем $A H ⊥ H C$ и $A H ⊥ HD$ . Из прямоугольных треугольников $A H C$ и $A HD$ :

H C^{2} = A C^{2} - A H^{2},

H D^{2} = A D^{2} - A H^{2} .

Так как $A C = A D$ , то

H C = HD .

Значит, треугольник $H C D$ равнобедренный. Точка $B$ — середина его основания $C D$ , поэтому медиана $H B$ одновременно является высотой:

H B ⊥ C D .

Следовательно,

H B ⊥ l .

Таким образом,

A B ⊥ l ⟺ H B ⊥ l .

То есть прямая, лежащая в плоскости и проходящая через основание наклонной, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна ортогональной проекции этой наклонной на плоскость.

Ответы на вопрос

Рисунок

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия