1) Высота конуса равна радиусу R его основания. Через вершину конуса проведена плоскость,

Ответы на вопрос

Отвечает Прибылова Людмила.

По условию высота конуса равна радиусу основания:

h = R .

Сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса, представляет собой равнобедренный треугольник.

Его боковые стороны — образующие конуса. Найдём образующую $l$ :

l = R^{2} + h^{2} .

Так как $h = R$ ,

l = R^{2} + R^{2} = R 2 .

Основание треугольника-сечения — хорда окружности основания, которая стягивает дугу $6 0^{\circ}$ . Длина хорды:

a = 2 R sin \frac{6 0 ^{\circ}}{2} = 2 R sin 3 0^{\circ} = R .

Итак, получаем равнобедренный треугольник со сторонами

R 2, R 2, R .

Проведём высоту к основанию $R$ . Она делит основание пополам:

\frac{R}{2} .

По теореме Пифагора высота треугольника равна

H = (R 2)^{2} - (\frac{R}{2})^{2} = 2 R^{2} - \frac{R ^{2}}{4} = \frac{7 R ^{2}}{4} = \frac{R 7}{2} .

Площадь сечения:

S = \frac{1}{2} \cdot R \cdot \frac{R 7}{2} = \frac{7}{4} R^{2} .

Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой сектор радиуса $12$ см и угла $12 0^{\circ}$ .

Радиус сектора — это образующая конуса:

l = 12 см .

Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Длина дуги сектора:

L = \frac{12 0 ^{\circ}}{36 0 ^{\circ}} \cdot 2 π \cdot 12 = \frac{1}{3} \cdot 24 π = 8 π .

Следовательно,

2 π r = 8 π,

откуда

r = 4 см .

Теперь найдём высоту конуса. Для осевого сечения выполняется:

l^{2} = h^{2} + r^{2} .

Поэтому

h = l^{2} - r^{2} = 1 2^{2} - 4^{2} = 144 - 16 = 128 = 82 см .

Объём конуса:

V = \frac{1}{3} π r^{2} h .

Подставляем:

Ответы на вопрос