Лучи МА, МВ и МС лежат в одной плоскости и пересекают плоскость в точках А, В и С. Докажите: точки А, В и С лежат на одной прямой.

Пусть лучи $MA$, $MB$ и $MC$ лежат в одной плоскости $\alpha$. По условию они пересекают другую плоскость $\beta$ соответственно в точках $A$, $B$ и $C$.

Так как точки $A$, $B$ и $C$ принадлежат лучам $MA$, $MB$, $MC$, а все эти лучи лежат в плоскости $\alpha$, то

Одновременно по условию точки $A$, $B$ и $C$ являются точками пересечения лучей с плоскостью $\beta$, поэтому

Следовательно, точки $A$, $B$ и $C$ принадлежат сразу двум плоскостям $\alpha$ и $\beta$.

Две различные пересекающиеся плоскости пересекаются по прямой. Значит, все общие точки плоскостей $\alpha$ и $\beta$ лежат на одной прямой — линии их пересечения.

Поэтому точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.