В квадрат ABCD со стороной a вписана окружность, которая касается стороны CD в точке E. Найдите длину хорды, соединяющей точки, в которых окружность пересекается с прямой AE.

Расположим квадрат $ABCD$ на координатной плоскости:

Вписанная окружность имеет центр

и радиус

Так как окружность касается стороны $CD$ в её середине, то

Прямая $AE$ проходит через точки $A(0,0)$ и $E\left(\frac{a}{2},a\right)$, поэтому её уравнение:

или

Найдём расстояние $d$ от центра окружности $O$ до прямой $AE$:

Если прямая проходит на расстоянии $d$ от центра окружности радиуса $R$, то длина хорды равна

Подставляем:

Рационализируя знаменатель, получаем