Градусные меры углов треугольника относятся как 2:3:a. Сколько существует таких значений a, при которых данный треугольник является прямоугольным?
Ответы:
1) Ни одного
2) Одно
3) Два
4) Три
5) Бесконечно много
Дайте ответ с пояснением.

Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда углы треугольника можно записать так:

Сумма углов треугольника равна $180^{\circ }$, значит:

Чтобы треугольник был прямоугольным, один из его углов должен быть равен $90^{\circ }$.

Рассмотрим возможные случаи:

1. Первый угол равен $90^{\circ }$:

Тогда второй угол:

Получается угол больше $90^{\circ }$, значит такой треугольник не существует.

2. Второй угол равен $90^{\circ }$:

Подставим в сумму углов:

Получили одно значение.

3. Третий угол равен $90^{\circ }$:

Так как:

то:

Подставим:

Сокращаем:

Получили второе значение.

Таким образом, подходят два значения: $a=1$ и $a=5$.

Ответ: 3) Два.