а) Диагональ осевого сечения равностороннего цилиндра равна 16√2 см. Чему равен радиус основания цилиндра?
б) Найдите высоту цилиндра, если диагональ его осевого сечения составляет с образующей цилиндра угол 30 градусов, а диаметр его основания равен 4√3 см.

а) В равностороннем цилиндре осевое сечение является квадратом. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра и диаметру основания.

Так как цилиндр равносторонний, то:

Значит, осевое сечение — квадрат со стороной $2r$. Диагональ этого квадрата равна $16\sqrt{2}$ см.

Диагональ квадрата находится по формуле:

где $a$ — сторона квадрата. Тогда:

Отсюда:

Но сторона квадрата — это диаметр основания цилиндра:

Следовательно:

Ответ: радиус основания цилиндра равен 8 см.

б) Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник. Его стороны: высота цилиндра $h$ и диаметр основания $d$.

По условию диаметр основания равен:

Диагональ осевого сечения составляет с образующей цилиндра угол $30^\circ$. Образующая цилиндра равна его высоте, то есть угол дан между диагональю прямоугольника и стороной $h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, где один катет — высота цилиндра $h$, второй катет — диаметр основания $4\sqrt{3}$, а гипотенуза — диагональ осевого сечения.

Так как угол между диагональю и высотой равен $30^\circ$, то:

Известно, что:

Тогда:

Отсюда:

Ответ: высота цилиндра равна 12 см.