В треугольнике ABC BC = BA = 10, AC = 8. Пусть AA₁ и CC₁ — биссектрисы треугольника. Найдите отрезок A₁C₁.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где $BA = BC = 10$, $AC = 8$. Это равнобедренный треугольник с основанием $AC$.

1. Введём координаты

Расположим треугольник симметрично:

• $A(-4, 0)$,

• $C(4, 0)$,

• $B(0, h)$.

Найдём $h$:

Итак:

• $B(0, 2\sqrt{21})$.

2. Точка $A_1$ — пересечение биссектрисы из $A$ со стороной $BC$

По теореме о биссектрисе:

Значит, точка $A_1$ делит $BC$ в отношении $5:4$, считая от $B$.

Вектор:

Тогда:

3. Точка $C_1$ — пересечение биссектрисы из $C$ со стороной $AB$

По теореме:

Значит, $C_1$ делит $AB$ в отношении $4:5$, считая от $A$.

Вектор:

Тогда: