ДАМ 70 БАЛЛОВ!!
в треугольнике АВС стороны АС и ВС равны, АН - высота, косинус угола ВАС = (2 корень из 6 )поделенное на 5 . Найдите косинус угла ВАН.

Рассмотрим задачу аккуратно.

Дано:

• $AC = BC$, значит треугольник равнобедренный с основанием $AB$.

• $AN$ — высота (значит $N \in BC$ и $AN \perp BC$).

• $\cos \angle BAC = \frac{2\sqrt{6}}{5}$.
  Найти: $\cos \angle BAN$.

1. Обозначим и найдём удобную модель

Разместим треугольник в координатах:

Пусть:

• $A(-a, 0)$

• $B(a, 0)$

• $C(0, h)$

Так как $AC = BC$, вершина $C$ действительно находится над серединой $AB$.

2. Найдём $\cos \angle BAC$

Угол $BAC$ — это угол между векторами:

• $\overrightarrow{AB} = (2a, 0)$

• $\overrightarrow{AC} = (a, h)$

Тогда:

Скалярное произведение:

Длины:

Следовательно:

По условию:

Квадрат:

Отсюда: