На рисунке АВ || CD. а) Докажите, что ∆AOB подобен ∆COD. б) Найдите АВ, если OD = 15 см, ОВ = 9 см, CD = 25 см.

Дано: $AB \parallel CD$. Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.
Известно: $OD=15$ см, $OB=9$ см, $CD=25$ см.

а) Докажем, что $\triangle AOB \sim \triangle COD$

Рассмотрим два треугольника: $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

1. Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ — вертикальные углы, так как образованы пересекающимися прямыми $AC$ и $BD$. Поэтому:

2. Так как $AB \parallel CD$, а $BD$ является секущей, то углы $\angle ABO$ и $\angle CDO$ — накрест лежащие углы, значит:

Мы получили, что два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника. Следовательно, по двум углам:

б) Найдём $AB$

Из подобия треугольников следует равенство отношений соответствующих сторон:

Подставим известные значения:

Сократим дробь:

Тогда:

Ответ: $AB=15$ см.