Образующая конуса наклонена к плоскости его основания под углом 45 градусов, а его осевое сечение является равнобедренным треугольником с основанием 6 см. Найдите объём конуса (в куб. см).

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, у которого основание равно диаметру основания конуса.

Дано:

• основание осевого сечения = 6 см, значит диаметр конуса $d=6$ см;

• радиус конуса:

Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом $45^{\circ }$. В осевом сечении получаем прямоугольный треугольник, где:

• один катет — радиус $r$;

• второй катет — высота конуса $h$;

• гипотенуза — образующая.

Угол между образующей и плоскостью основания равен углу между образующей и ее проекцией на основание, то есть между гипотенузой и радиусом. Поэтому:

Так как $\tan 45^{\circ }=1$, получаем:

Теперь найдем объем конуса:

Подставляем значения:

Ответ:

Приблизительно: