1) В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Найдите угол MPN.
2) В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы BK и AM пересекаются в точке O. Найдите угол AOK.
3) Биссектрисы углов N и M треугольника MNP пересекаются в точке A. Найдите угол NAM, если угол N = 84°, а угол M = 42°.
4) В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

1) Равносторонний треугольник ABC. Биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Найти ∠MPN.

В равностороннем треугольнике все углы равны по $60^\circ$. Биссектрисы углов являются также медианами и высотами, поэтому они пересекаются в центре треугольника.

Точка $P$ — центр треугольника. Угол между двумя радиусами, проведёнными к вершинам $A$ и $C$, равен:

Так как $AM$ и $CN$ проходят через $P$, то:

Ответ: $120^\circ$.

2) Равносторонний треугольник ABC. Биссектрисы BK и AM пересекаются в точке O. Найти ∠AOK.

Точка $O$ — центр равностороннего треугольника. Биссектриса $BK$ проходит через вершину $B$, а $AM$ — через вершину $A$.

Угол между двумя биссектрисами в центре равен углу между направлениями к вершинам $A$ и $B$:

Так как точка $K$ лежит на биссектрисе $BK$, то луч $OK$ совпадает с лучом $OB$. Значит:

Ответ: $120^\circ$.

3) Биссектрисы углов N и M треугольника MNP пересекаются в точке A. Найти ∠NAM, если ∠N = 84°, ∠M = 42°.

Сначала найдём третий угол треугольника:

Точка $A$ — пересечение биссектрис, значит это центр вписанной окружности (инцентр). Угол между биссектрисами двух углов треугольника равен:

Подставляем:

Ответ: $117^\circ$.

4) В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найти угол ABC.

Так как основание треугольника — $AC$, то боковые стороны равны:

Следовательно, углы при основании равны:

Внешний угол при вершине $C$ равен $123^\circ$, а внутренний угол с ним образует развернутый угол:

Значит:

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

Ответ: $66^\circ$.

0 0 Пожаловаться