В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания равна 3√2, боковое ребро — 3√2, M — центр грани CC₁B₁B. Найдите угол между прямой AM и плоскостью основания.

Ответ: 30°.

Решение:

Дано:

• $ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма.

• $AB=BC=AC=3\sqrt2$ — стороны основания.

• $AA_1=BB_1=CC_1=3\sqrt2$ — боковые рёбра.

• $M$ — центр боковой грани $CC_1B_1B$.

Нужно найти угол между прямой $AM$ и плоскостью основания $ABC$.

1. Найдём проекцию точки M на плоскость основания.

Поскольку призма правильная, её боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, а боковая грань $CC_1B_1B$ является прямоугольником.

Обозначим через $N$ середину стороны $BC$.

Так как $M$ — центр прямоугольника $CC_1B_1B$, то $MN$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$.

Следовательно, $AN$ — ортогональная проекция прямой $AM$ на плоскость основания.

Значит, искомый угол — это $\angle MAN$.

2. Найдём длину MN.

Точка $M$ находится на половине высоты призмы, поэтому:

3. Найдём длину AN.

Треугольник $ABC$ равносторонний со стороной $3\sqrt2$.

Поскольку $N$ — середина $BC$, отрезок $AN$ является высотой равностороннего треугольника.

Высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

Подставим $a=3\sqrt2$:

4. Найдём искомый угол.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMN$, в котором $\angle ANM=90^\circ$.

Обозначим $\angle MAN=\alpha$.

По определению тангенса:

Подставим найденные значения: