Буду рада, если подскажите решение хотя бы одной задачи из перечисленных!

1. Прямая а не лежит в плоскости альфа. Через прямую а проходит плоскость бетта, пересекающая плоскость альфа по прямой b. Тоски А и В принадлежат прямой а, тоски С и Д - прямой b. При каком условии векторы АВ и СД коллинеарны?

2. В треугольной призме АВСА1В1С1 диагонали грани ВВ1С1С пересекаются в точке М. Вырахите вектор АМ через векторы АС, ВВ1 и ВС?

3. Диагонали параллелепипеда АВСДА1В1С1Д1 пересекаются в точке О. Докажите, что векторы а=АВ+В1С1+СО и СА1 коллинеарны. При каком значении к выполняется равенство а=кС1А?

4. Вектор м разложен по трем некомпланарным векторам а б и с, м=-3а+4б+2с. Найдите разложение вектора б по векторам а, с и м

Разберём все четыре задачи подробно. Здесь главное — знать правила сложения векторов, свойства параллелепипеда и призмы.

Задача 1

Условие: Прямая $a$ не лежит в плоскости $\alpha$. Через прямую $a$ проходит плоскость $\beta$, пересекающая плоскость $\alpha$ по прямой $b$. Точки $A$ и $B$ принадлежат прямой $a$, а точки $C$ и $D$ — прямой $b$. При каком условии векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ коллинеарны?

Решение:

По определению два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

По условию:

• $\overrightarrow{AB}$ лежит на прямой $a$;

• $\overrightarrow{CD}$ лежит на прямой $b$.

Следовательно, векторы будут коллинеарными, если прямые $a$ и $b$ параллельны.

Так как прямая $b$ принадлежит плоскости $\alpha$, а прямая $a$ не лежит в этой плоскости, получаем, что $a$ должна быть параллельна плоскости $\alpha$.

Ответ: Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ коллинеарны, если прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ (то есть $a\parallel b$).

Задача 2

Условие: В треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ диагонали грани $BB_1C_1C$ пересекаются в точке $M$. Выразите вектор $\overrightarrow{AM}$ через векторы $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BB_1}$ и $\overrightarrow{BC}$.

Решение:

Боковые грани призмы являются параллелограммами. Поэтому грань $BB_1C_1C$ — параллелограмм.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $M$ — середина диагонали $BC_1$.

По правилу треугольника:

Поскольку $M$ — середина $BC_1$, то

При