В прямоугольный треугольник CDM (угол D равен 90 градусов) вписан прямоугольник DAKB так, что угол D у них общий, а вершина K лежит на гипотенузе. Найди стороны прямоугольника, если CD = 12 см, DM = 18 см, AK = 3AD.

Дано:

• $\triangle CDM$ — прямоугольный, $\angle D=90^\circ$.

• $CD=12$ см, $DM=18$ см.

• $DAKB$ — вписанный прямоугольник.

• Вершина $K$ лежит на гипотенузе $CM$.

• $AK=3AD$.

Найти: стороны прямоугольника $DAKB$.

Решение

Предположим, что точка $A$ лежит на стороне $CD$, а точка $B$ — на стороне $DM$.

Обозначим:

Так как $CD=12$ см, то:

Рассмотрим треугольники $CAK$ и $CDM$.

Они подобны по двум углам, поскольку:

• $\angle CAK=\angle CDM=90^\circ$;

• угол $C$ у них общий.

Из подобия треугольников следует:

Подставим известные значения:

Упростим:

Умножим обе части на 12:

Следовательно:

Найдём вторую сторону прямоугольника:

Поскольку противоположные стороны прямоугольника равны, получаем:

Ответ: 4 см и 12 см.

Примечание: поскольку в условии не указано, на каком именно катете находится точка $A$, математически возможен и другой вариант. Если $A$ лежит на $DM$, то из подобия треугольников $MAK$ и $MDC$ получим:

откуда $AD=\frac{36}{11}$ см и $AK=\frac{108}{11}$ см.

Таким образом, если по чертежу точка $A$ находится на катете $CD$, искомый ответ — 4 см и 12 см.