Из точки М биссектрисы неразвёрнутого угла О проведены перпендикуляры МА и МВ к сторонам этого угла. Докажите, что МА = МВ.

Дано:

• ∠AOB — неразвёрнутый угол.

• OM — биссектриса угла AOB.

• MA ⟂ OA, MB ⟂ OB.

Доказать: MA = MB.

Доказательство

Рассмотрим прямоугольные треугольники △OMA и △OMB.

1. По условию MA ⟂ OA и MB ⟂ OB, следовательно, ∠OAM = ∠OBM = 90°. Значит, треугольники OMA и OMB прямоугольные.

2. Отрезок OM является общей гипотенузой этих треугольников.

3. Поскольку OM — биссектриса угла AOB, она делит этот угол на два равных угла. Следовательно, ∠AOM = ∠MOB.

4. Таким образом, прямоугольные треугольники OMA и OMB равны по гипотенузе и острому углу.

5. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: MA = MB.

Ответ

МА = МВ, что и требовалось доказать.

Это доказательство подтверждает свойство биссектрисы угла: любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла.