ДАЮ 20 баллов. ПОМОГИТЕ СРОЧНО!

русский перевод: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12 см, а один из острых углов - 30 градусов. Найти радиус окружности с центром в вершине угла, которое разделяет данный треугольник на две равновеликие части.


український переклад: Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а один з гострих кутів -30. Знайти радіус кола з центром у вершині кута, яке поділяє даний трикутник на дві рівновеликі частини.

Дано:

Прямоугольный треугольник $ABC$, в котором:

• $\angle C=90^\circ$

• $\angle A=30^\circ$

• $AB=12$ см — гипотенуза.

Окружность с центром в вершине угла $30^\circ$ делит треугольник на две равновеликие части.

Найти: радиус окружности $R$.

Решение

1. Найдём катеты треугольника.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы:

По теореме Пифагора:

2. Найдём площадь треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

3. Найдём площадь одной из равновеликих частей.

По условию окружность делит треугольник на две равные по площади части. Следовательно:

4. Найдём радиус окружности.

Часть треугольника, находящаяся внутри окружности, представляет собой круговой сектор с центральным углом $30^\circ$.

Площадь сектора вычисляется по формуле:

Подставим $\alpha=30^\circ$:

Так как площадь сектора составляет половину площади треугольника, получаем:

Умножим обе части на 12:

Разделим на $\pi$: