Вершина пирамиды равноудалена от сторон основания. Определите положение проекции вершины пирамиды на основание и сделайте рисунок пирамиды, если в её основании лежит ромб.

Ответ: проекция вершины пирамиды на плоскость основания находится в точке пересечения диагоналей ромба. Эта точка является центром вписанной в ромб окружности.

Решение

Пусть $SABCD$ — пирамида, основанием которой является ромб $ABCD$, а $S$ — вершина пирамиды.

По условию вершина $S$ равноудалена от всех сторон основания:

Обозначим через $H$ проекцию вершины $S$ на плоскость основания. Тогда

1. Так как $SH$ перпендикулярна плоскости основания, квадрат расстояния от точки $S$ до прямой, содержащей сторону основания, равен сумме квадратов высоты $SH$ и расстояния от точки $H$ до этой прямой.

Например:

Аналогичные равенства выполняются для остальных сторон.

2. Поскольку расстояния от $S$ до всех сторон равны, а высота $SH$ одинакова, получаем:

Следовательно, проекция $H$ равноудалена от всех четырёх сторон ромба.

3. В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов. Поэтому точка их пересечения равноудалена от всех сторон ромба и служит центром вписанной окружности.

Значит, точка $H$ совпадает с точкой пересечения диагоналей ромба:

Рисунок пирамиды

Пирамида SABCD. Пунктиром показаны невидимые рёбра, диагонали основания и высота SH.

На рисунке:

• $ABCD$ — ромб, лежащий в основании пирамиды.

• $S$ — вершина пирамиды.

• $AC$ и $BD$ — диагонали ромба.

• $H$ — точка пересечения диагоналей, являющаяся проекцией вершины $S$.

• $SH$ — высота пирамиды, причём $SH\perp(ABCD)$.

Итог: если вершина пирамиды равноудалена от всех сторон основания, а основанием служит ромб, то основание высоты пирамиды находится в точке пересечения диагоналей ромба, то есть в центре его вписанной окружности.