Периметри трьох граней прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 10 см, 14 см і 16 см. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.

Дано: Периметри трьох граней прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 10 см, 14 см і 16 см.

Знайти: Об'єм прямокутного паралелепіпеда.

Розв'язання:

Позначимо довжину, ширину та висоту прямокутного паралелепіпеда через $a$, $b$ і $c$.

Оскільки всі грані прямокутного паралелепіпеда є прямокутниками, їхні периметри обчислюються за формулою:

За умовою задачі складаємо систему рівнянь:

Поділимо кожне рівняння на 2:

Додамо всі три рівняння:

Тепер знайдемо кожне ребро паралелепіпеда:

1. $a=10-(b+c)=10-8=2$ см.

2. $b=10-(a+c)=10-7=3$ см.

3. $c=10-(a+b)=10-5=5$ см.

Отже, виміри паралелепіпеда дорівнюють 2 см, 3 см і 5 см.

Знайдемо об'єм.

Об'єм прямокутного паралелепіпеда обчислюється за формулою:

Підставимо знайдені значення:

Відповідь: $\boxed{30\text{ см}^3}$.