В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AA1 и CC1. Окружность ω, описанная около треугольника ABC, пересекает прямую A1C1 в точках X и Y. Касательные к ω, проведённые в точках X и Y, пересекаются в точке Z. Выберите все гарантированно верные утверждения:
1) Прямые A1C1 и AC антипараллельны относительно угла ABC.
2) Прямые XZ и BC1 антипараллельны относительно угла BXY.
3) Прямые XZ и BY антипараллельны относительно угла BXY.
4) Точка B является серединой дуги XY.
5) Касательная в точке B к ω параллельна A1C1.
6) Четырёхугольники ZBC1Y и ZBA1X вписаны.
7) Прямые AB и XZ перпендикулярны.
8) Прямые BZ и XY перпендикулярны.

Правильный ответ: 1 и 3.

Разберём каждое утверждение.

Доказательство утверждения 1

Прямые $A_1C_1$ и $AC$ антипараллельны относительно угла $ABC$.

Действительно, поскольку $AA_1$ и $CC_1$ — высоты треугольника, имеем:

Следовательно, точки $A,A_1,C,C_1$ лежат на одной окружности с диаметром $AC$.

По свойству вписанных углов:

с учётом направлений углов. Это и означает, что прямые $A_1C_1$ и $AC$ антипараллельны относительно угла $ABC$.

Утверждение 1 верно.

Доказательство утверждения 3

По условию точки $X,Y$ принадлежат окружности $\omega$, а $XZ$ — касательная к этой окружности в точке $X$.

По теореме о касательной и хорде:

Это означает, что угол между касательной $XZ$ и хордой $XY$ равен углу между хордой $XB$ и прямой $BY$.

Следовательно, прямые $XZ$ и $BY$ антипараллельны относительно угла $BXY$.

Утверждение 3 верно.

Проверка остальных утверждений

2) Неверно. Из теоремы о касательной и хорде не следует антипараллельность $XZ$ и $BC_1$ относительно угла $BXY$.

4) Неверно. Нет общего основания утверждать, что $B$ является серединой дуги $XY$. Для этого потребовалось бы равенство соответствующих хорд $BX$ и $BY$.

5) Неверно. Из условий задачи не следует, что касательная в точке $B$ параллельна $A_1C_1$.

6) Неверно. Вписанность четырёхугольников $ZBC_1Y$ и $ZBA_1X$ не гарантируется условиями задачи.

7) Неверно. Касательная $XZ$ не обязана быть перпендикулярна $AB$.

8) Неверно. Из того, что $Z$ — пересечение касательных в $X$ и $Y$, не следует перпендикулярность $BZ$ и $XY$.

Ответ: 1, 3.