Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, в котором диагонали боковых граней, выходящих из одной вершины, равны 6 и 8, а угол между ними 60°.

Подсказка: решается с помощью системы.

Пусть рёбра прямоугольного параллелепипеда равны \(a\), \(b\) и \(c\). Диагонали двух боковых граней:

\[\sqrt{a^2+c^2}=6, \qquad \sqrt{b^2+c^2}=8.\]

Угол между этими диагоналями равен \(60°\). Их скалярное произведение равно \(c^2\), поэтому:

\[c^2=6\cdot8\cdot\cos 60°=24.\]

Значит, \(c=2\sqrt{6}\).

Тогда:

\[a^2=36-24=12, \qquad b^2=64-24=40.\]

Следовательно, \(a=2\sqrt{3}\), \(b=2\sqrt{10}\).

Объём:

\[V=abc=2\sqrt{3}\cdot2\sqrt{10}\cdot2\sqrt{6}=48\sqrt{5}.\]

Ответ: \(48\sqrt{5}\).

0 0 Пожаловаться