Дан квадрат со стороной 2. В него вписан круг. Другой круг меньшего радиуса касается данного круга и двух соседних сторон квадрата. Найдите площадь меньшего круга.

Радиус вписанного круга равен \(1\). Пусть радиус меньшего круга равен \(r\). Его центр находится на расстоянии \(r\) от двух сторон квадрата.

Расстояние между центрами кругов равно \(\sqrt{2}(1-r)\), а при внешнем касании оно равно \(1+r\):

\[\sqrt{2}(1-r)=1+r.\]

Отсюда \(r=3-2\sqrt{2}\).

Тогда площадь меньшего круга:

\[S=\pi r^2=\pi(3-2\sqrt{2})^2=\pi(17-12\sqrt{2}).\]

Ответ: \(\pi(17-12\sqrt{2})\).

0 0 Пожаловаться