Из концов диаметра АВ данной окружности проведены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к касательной, которая не перпендикулярна диаметру АВ. Докажите, что точка касания является серединой отрезка А1В1.

Пусть точка касания — \(C\), а касательная — прямая \(l\). По условию \(AA_1 \perp l\) и \(BB_1 \perp l\), значит, \(A_1\) и \(B_1\) — проекции точек \(A\) и \(B\) на прямую \(l\).

Так как \(AB\) — диаметр окружности, её центр \(O\) является серединой отрезка \(AB\). При проектировании на прямую середина отрезка переходит в середину отрезка его проекций. Поэтому проекция точки \(O\) на \(l\) является серединой отрезка \(A_1B_1\).

Радиус \(OC\), проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: \(OC \perp l\). Следовательно, проекция центра \(O\) на прямую \(l\) — это точка \(C\). Значит, \(C\) является серединой отрезка \(A_1B_1\).

0 0 Пожаловаться