Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов двух смежных сторон.

Пусть стороны параллелограмма равны \(a\) и \(b\), а угол между ними равен \(\alpha\). Обозначим диагонали через \(d_1\) и \(d_2\).

По теореме косинусов для треугольников, образованных сторонами и диагоналями:

\[d_1^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha\]

\[d_2^2=a^2+b^2+2ab\cos\alpha\]

Сложим эти равенства:

\[d_1^2+d_2^2=2a^2+2b^2\]

\[d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)\]

Значит, сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов двух смежных сторон. Что и требовалось доказать.

0 0 Пожаловаться