В параллелограмме KMNP проведена биссектриса угла MKP которая пересекает сторону MN в точке E.
a) Докажите что треугольник KME равнобедренный.
b) Найдите сторону KP если ME=10 см а периметр параллелограмма равен 52 см.

Решение:

а) Доказать, что треугольник $KME$ равнобедренный.

Дано:

• Параллелограмм $KMNP$.
• $MKP$ — угол, биссектриса которого проходит через сторону $MN$ и пересекает её в точке $E$.
• Нужно доказать, что треугольник $KME$ равнобедренный.

Рассмотрение:
Биссектриса $MKP$ делит угол $MKP$ на два равных угла: $\angle MKE = \angle EKP$. В треугольнике $KME$:

1. Сторона $KE$ является общей для двух углов.
2. Угол $\angle MKE$ равен углу $\angle EKP$ по свойству биссектрисы.

Таким образом, по признаку равенства углов треугольник $KME$ является равнобедренным, так как углы при основании равны ($\angle MKE = \angle EKP$).

б) Найти сторону $KP$, если $ME = 10 \, \text{см}$, а периметр параллелограмма равен $52 \, \text{см}$.

Дано:

• $ME = 10 \, \text{см}$.
• Периметр параллелограмма $KMNP = 52 \, \text{см}$.

Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон:

где $KM$ и $KP$ — соседние стороны параллелограмма.

Подставим значение периметра:

Так как $ME = 10 \, \text{см}$, это половина стороны $MN$, так как биссектриса делит сторону на отрезки, пропорциональные другим сторонам треугольника. Значит, $MN = 20 \, \text{см}$. В параллелограмме противоположные стороны равны:

Следовательно:

Ответ:
а) Треугольник $KME$ равнобедренный.
б) Сторона $KP$ равна $20 \, \text{см}$.