В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса BE внешнего угла при вершине B. Определите взаимное расположение прямых BE и AC.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, в котором основание — это отрезок $AC$, а боковые стороны — $AB$ и $BC$. Внешний угол при вершине $B$ — это угол, смежный с углом $ABC$, и его биссектриса — это прямая $BE$. Нужно определить взаимное расположение прямых $BE$ и $AC$.

Шаг 1: Определение внешнего угла при вершине B

Во внешнем угле при вершине $B$ два луча:

• Один — это продолжение стороны $BC$.
• Второй — это сторона $AB$.

Обозначим:

• Внутренний угол при вершине $B$ как $\angle ABC$.
• Внешний угол как $\angle DBE$, где $BD$ — продолжение $BC$ за точку $B$.

По свойству внешнего угла треугольника:

Шаг 2: Биссектриса внешнего угла

Биссектриса внешнего угла $BE$ делит угол $\angle DBE$ на два равных угла:

Так как треугольник равнобедренный ($AB = BC$), его углы при основании равны:

Также $\angle ABC = 180^\circ - 2\angle BAC$, поэтому внешний угол:

Биссектриса делит этот угол пополам, следовательно:

Шаг 3: Взаимное расположение прямых $BE$ и $AC$

Мы получили, что:

Но угол $\angle ABE$ — это накрест лежащий угол при пересечении прямых $BE$ и $AC$ секущей $AB$. Если накрест лежащие углы равны, то по признаку параллельности прямых:

Вывод

Биссектриса внешнего угла при вершине $B$ в равнобедренном треугольнике параллельна основанию $AC$, то есть: