Как решить уравнение (2х - 1)(2х + 1) + х(х - 1) = 2х(х + 1) по формуле корней квадратного уравнения?

Чтобы решить уравнение $(2x - 1)(2x + 1) + x(x - 1) = 2x(x + 1)$ по формуле корней квадратного уравнения, давайте поэтапно преобразуем его.

1. Раскроем скобки:

   $$(2x - 1)(2x + 1) = 4x^2 - 1$$ $$x(x - 1) = x^2 - x$$ $$2x(x + 1) = 2x^2 + 2x$$

2. Подставим эти выражения в исходное уравнение:

   $$(4x^2 - 1) + (x^2 - x) = 2x^2 + 2x$$

3. Приведем подобные члены:

   $$4x^2 + x^2 - x - 1 = 2x^2 + 2x$$ $$5x^2 - x - 1 = 2x^2 + 2x$$

4. Переносим все на одну сторону:

   $$5x^2 - x - 1 - 2x^2 - 2x = 0$$ $$3x^2 - 3x - 1 = 0$$

5. Теперь у нас получилось квадратное уравнение: $3x^2 - 3x - 1 = 0$.

6. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: Формула корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ выглядит так:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   Здесь $a = 3$, $b = -3$, $c = -1$.

7. Подставляем значения $a$, $b$ и $c$ в формулу:

   $$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3}$$ $$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12}}{6}$$ $$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{6}$$

8. Таким образом, корни уравнения:

   $$x = \frac{3 + \sqrt{21}}{6} \quad \text{или} \quad x = \frac{3 - \sqrt{21}}{6}$$

Это и есть решение уравнения.