Почему в рассказе "Бежин луг" луг называется Бежин?

Коротко: от названия соседней деревни.

«Бежин луг» — это реальный топоним из окрестностей Спасского-Лутовинова (родовые места Тургенева). Луг лежал на землях деревни Бежинцы (в ряде источников — село Бежино), поэтому в местной речи его и называли «Бежин» — то есть «бежинский луг». Такая притяжательная форма для русских названий обычна: как говорят «Иванов луг», «Никитин луг». Отсюда же в тексте — «бежинские мальчики»: ребята-конопасчики именно из той деревни.