Назовите жанр стихотворения "Узник" Лермонтова.

Жанр стихотворения Лермонтова «Узник» — лирическое стихотворение (лирика, романтическая / гражданская лирика).

Это именно лирика, потому что:

• в центре не события и не развернутый сюжет, а личные переживания лирического героя-узника – его чувство несвободы, тоска, протест, мечта о воле; +1

• стихотворение написано от первого лица, весь текст – исповедь, внутренний монолог героя;

• нет развитого сюжета, характерного, например, для баллады или поэмы: есть одна ситуация (заключение в тюрьме) и состояние души человека в этой ситуации;

• интонация эмоциональная, исповедальная, с напряжённым душевным конфликтом – это типичные признаки лирического стихотворения.

Поэтому, если формулировать кратко:
«Узник» Лермонтова – лирическое стихотворение романтического характера (гражданская лирика о свободе и неволе).