В чем разница между областью определения и областью значений функции?

Разница между областью определения и областью значений функции заключается в том, на какие элементы они ссылаются в контексте функции.

1. Область определения функции — это множество всех допустимых значений переменной (аргумента), при которых функция имеет смысл. Грубо говоря, это те значения, которые можно "подставить" в функцию, не нарушая правил математики (например, нельзя делить на ноль или извлекать корень из отрицательного числа в области действительных чисел).

   Пример: если функция задана как
   $f(x) = \frac{1}{x - 2}$,
   то область определения — все действительные числа, кроме $x = 2$, потому что при $x = 2$ знаменатель становится нулём, а деление на ноль не определено.

2. Область значений функции — это множество всех возможных результатов (значений), которые функция может принимать при допустимых значениях аргумента. То есть это те значения, которые реально может "выдавать" функция после подстановки всех допустимых $x$ из области определения.

   Для того же примера $f(x) = \frac{1}{x - 2}$, область значений — это все действительные числа, кроме нуля, потому что выражение $\frac{1}{x - 2}$ никогда не станет равным нулю (единица никогда не делится на что-то так, чтобы получился ноль).

Таким образом:

• Область определения — где функция "работает".

• Область значений — какие значения она "выдаёт" в результате.

Это два разных, но взаимосвязанных аспекта любой функции.