Доказать: 1) 1-cos^2t/1-sin^2t + tgt*ctgt = 1/cos^2t

Давайте рассмотрим выражение, которое нужно доказать:

Шаг 1: Упростим первую часть выражения
Начнем с выражения $\frac{1 - \cos^2(t)}{1 - \sin^2(t)}$. Заметим, что:

• $1 - \cos^2(t) = \sin^2(t)$ (из тригонометрической тождественности $\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1$).

• $1 - \sin^2(t) = \cos^2(t)$ (по аналогичной тождественности).

Таким образом, первая часть выражения становится:

Шаг 2: Упростим вторую часть выражения
Теперь рассмотрим вторую часть: $\tan(t) \cdot \cot(t)$.

По определению тангенса и котангенса:

Следовательно:

Шаг 3: Объединяем все части
Теперь объединим результаты из Шагов 1 и 2:

Используем тригонометрическое тождество:

А по определению $\sec(t) = \frac{1}{\cos(t)}$, поэтому:

Шаг 4: Заключение
Таким образом, выражение:

упрощается до:

Это и требовалось доказать.