Основаниями правильной усечённой пирамиды являются четырёхугольники со сторонами 20 и 10. Боковое ребро усечённой пирамиды равно 13. Найдите площадь полной поверхности усечённой пирамиды.

Дано:

Правильная усечённая четырёхугольная пирамида, у которой:

• сторона нижнего основания $a=20$;

• сторона верхнего основания $b=10$;

• боковое ребро $l=13$.

Найти: площадь полной поверхности $S_{\text{полн}}$.

Решение

Поскольку пирамида правильная четырёхугольная, её основаниями являются квадраты, а боковые грани — равные равнобедренные трапеции.

Площадь полной поверхности усечённой пирамиды равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности:

1. Найдём площади оснований.

Нижнее основание — квадрат со стороной 20:

Верхнее основание — квадрат со стороной 10:

Сумма площадей оснований:

2. Найдём высоту боковой грани (апофему).

Каждая боковая грань представляет собой равнобедренную трапецию с основаниями 20 и 10 и боковыми сторонами 13.

Опустим высоту трапеции. Разность оснований, делённая пополам, равна:

По теореме Пифагора:

Таким образом, высота боковой грани равна 12.

3. Найдём площадь боковой поверхности.

Площадь одной боковой грани:

Подставим значения:

Так как у четырёхугольной усечённой пирамиды четыре одинаковые боковые грани:

4. Найдём площадь полной поверхности.

Ответ: 1220 квадратных единиц.